[科普中国]-非负数

定义

所谓非负数，是指零和正实数。非负数的性质在解题中颇有用处，常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根。2

类型实数的偶次幂是非负数

若 是任意实数，则 (n为正整数)，特别地，当n=1时，有 。

实数的绝对值是非负数

若是实数．则

性质：绝对值最小的实数是零。

算术根及其中的被开方数

是算术根，则 。3

性质：一个正实数的算术根是非负数，若是实数，则。

三个实数平方和与两两积之和的差

非负数的其他性质

①数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数。

②有限个非负数的和仍为非负数，即若 为非负数，则 。

③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若 为非负数，且 ，则必有 。

在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用得最多。

④非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数。

⑤最小非负数为零，没有最大的非负数。

⑥一元二次方程 有实数根的充要条件是判别式 为非负数。

应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数向有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决。2

非负数的应用利用非负数求代数式的值

例1 已知．求的值。

讲解 由题意，解得。

代入代数式得。

评注 本题利用绝对值和根式的非负数性质求解，比较容易简单。2

利用非负数求最值

例2 已知为实数，求的最小值和取得最小值时的的值。

讲解

因为为实数，所以，所以。

所以当 时，有最小值2，此时。

评注 利用非负数求最值，需对问题条件进行变形，写成非负数形式是关键。2

利用非负数求方程的根或个数

例3 确定方程的实数根的个数。

讲解 (方法一) 将原方程化为，

即，

对于任意实数x，均有，

所以恒大于0，

故无实根。

(方法二) 利用判别式判断。

因为判别式小于零，所以无解。

评注 本题确定方程根的个数，首先判断方程类型尤其重要。2